Sanskrit Grammar: Vowel Sandhi

An अ and an आ in any combination will become आ
अ + अ = आ 
अथ+अच्सन्धिः = अथाच्सन्धिः 

[:-) Although I said we wouldn't use technical terms, I couldn't resist this one.अथाच्सन्धिः means 'now follows the sandhi of vowels']

अ + आ = आ

परम + आनन्दः = परमानन्दः

आ + अ = आ 

यदा +अस्ति = यदास्ति

आ + आ = आ

विद्या + आलयः = विद्यालयः

The simplicity of this sandhi is its peril. We tend to take it for granted. You have to be careful when you meet two new words of whether the first ends in an 'a' or 'aa', likewise whether the next word starts with an 'a' or an 'aa'.

Similarly:

इ+ इ =ई

मुनि + इन्द्रः = मुनीन्द्रः

इ+ ई = ई

कपि + ईशः = कपीशः

ई + इ = ई 

नदी + इव = नदीव

ई+ ई = ई
लक्श्मी + ईश्वरः = लक्श्मीश्वरः

In the same way:

उ+उ =ऊ

गुरु+उपदेशः = गुरूपदेशः

उ+ऊ = ऊ

सिन्धु + ऊर्मिः  = सिन्धूर्मिः 

ऊ+ उ = ऊ

साधू +उपदेशः = सधूपदेशः

ऊ+ऊ = ऊ

चमू+ऊर्जा = चमूर्जा

We are unlikely to meet ऋ and it's variations right yet. So I'll leave that for a later stage. (Besides I couldn't get the double ऋ on my transliteration site!! So will work on it and post later)

When an अ or आ meet an इ or ई, the resultant sound is an ए
And if an अ or आ meet an उ or ऊ the resultand sound is an ओ
(Again - give me some time to work out how to put what happens when अ or आ meets a ऋ online) 
Meanwhile here are some examples: 
अथ + इदम् = अथेदम्
तदा + इदम् = तदेदम्

अथ + ईश्वरः = अथेश्वरः

तदा + ईश्वरः = तदेश्वरः

अथ + उपरि = अथोपरि

तदा + उपरि = तदोपरि

शिव +इदम् = शिवेदम्

सीता +ईश्वरः = सीतेश्वरः

नासिका + इयम् = नासिकेयम्

गण + ईशः = गणेशः

महा + ईशः = महेशः

वीर + इन्द्रः = विरेन्द्रः

राजा + इन्द्रः = राजेन्द्रः

सूर्य + उदयः = सूर्योदयः

हित + उपदेशः = हितोपदेशः

नर + उत्तमः = नरोत्तमः

गङ्गा + उदकम् + गङ्गोदकम्

पुरुष + उत्तमः = पुरुषोत्तमः

यथा + उचितम् = यथोचितम्

नव + ऊढा = नवोढा 

For vocabulary, I would like to encourage you to use:
http://spokensanskrit.de/